《新知客》趣题专栏 2010.11
by Matrix67
at 2010-11-09 13:03:28
original http://www.matrix67.com/blog/archives/3895
目前，我正在《新知客》杂志上主持一个趣题栏目。每月杂志发行后，我将在 Blog 上同步更新。点击 这里 可以查看往期题目。
推理
1. 高三 (17) 班有 50 个同学，他们的学号分别是 1, 2, 3, …, 50 。一次数学考试结束后，同学们都交完试卷离开了考场。数学老师小 A 清点试卷时发现，他手中只有 49 张卷子。究竟是谁没有交卷呢？正巧小 A 手边没有笔，他也不想把所有卷子按照学号重新排序。他希望不借助任何工具，仅仅通过依次查看每张卷子上写的学号，便能找出缺失的那个学号。和常人一样，小 A 的记忆力很有限，他没法记住之前到底看到过哪些学号；不过，作为一个数学老师，小 A 拥有无人匹敌的计算能力。他有办法找出没交卷的那位同学的学号吗？
2. 小 A 和小 B 玩游戏。从小 A 开始，两个人轮流从 1 到 9 当中选一个数（已经选过的数不能再选），约定谁先选到三个和为 15 的数，谁就获胜了。比方说，小 A 先选了 4 ，然后小 B 选 5 ，小 A 选 6 ，小 B 选 2 。为了阻止小 B 获胜，下一步小 A 就必须得选 8 （否则小 B 将靠 5 、 2 、 8 三个数获胜）。为了阻止小 A 获胜，小 B 选择了 1 （否则小 A 将靠 6 、 8 、 1 三个数获胜）。但是，这已经阻止不了小 A 的胜利了——小 A 可以选择 3 ，从而得到 4 、 8 、 3 三个加起来等于 15 的数。
在这个游戏中，小 A 有必胜策略吗？
计算
1. 有一块长方形的巧克力，它由 m×n 个小块组成。你想要把它们全部掰开。每一步，你只能拾起其中一块巧克力，沿着直线把它掰成两块。请证明，不管你用什么样的策略，把所有小块全部掰开所需要的步数都是相同的。
2. 把一副洗好的牌（共 52 张）背面朝上地摞成一摞，然后依次翻开每一张牌，直到翻出第一张 A 。下一张牌是黑桃 A 的可能性大还是黑桃 2 的可能性大？
填图：
1. 你能把一个等边三角形分成三个面积相等但形状各不相同的小三角形吗？
2. 像示例那样，在图中画出一条封闭的回路。这条路必须既无重复又无遗漏地经过每一个白色方格。
推理
1. 高三 (17) 班有 50 个同学，他们的学号分别是 1, 2, 3, …, 50 。一次数学考试结束后，同学们都交完试卷离开了考场。数学老师小 A 清点试卷时发现，他手中只有 49 张卷子。究竟是谁没有交卷呢？正巧小 A 手边没有笔，他也不想把所有卷子按照学号重新排序。他希望不借助任何工具，仅仅通过依次查看每张卷子上写的学号，便能找出缺失的那个学号。和常人一样，小 A 的记忆力很有限，他没法记住之前到底看到过哪些学号；不过，作为一个数学老师，小 A 拥有无人匹敌的计算能力。他有办法找出没交卷的那位同学的学号吗？
答案：首先算出 1 到 50 这 50 个数之和，它等于 1275 。然后从 1275 这个数开始，不断减去看到的学号，最后剩下的数就是缺失的那个学号。
2. 小 A 和小 B 玩游戏。从小 A 开始，两个人轮流从 1 到 9 当中选一个数（已经选过的数不能再选），约定谁先选到三个和为 15 的数，谁就获胜了。比方说，小 A 先选了 4 ，然后小 B 选 5 ，小 A 选 6 ，小 B 选 2 。为了阻止小 B 获胜，下一步小 A 就必须得选 8 （否则小 B 将靠 5 、 2 、 8 三个数获胜）。为了阻止小 A 获胜，小 B 选择了 1 （否则小 A 将靠 6 、 8 、 1 三个数获胜）。但是，这已经阻止不了小 A 的胜利了——小 A 可以选择 3 ，从而得到 4 、 8 、 3 三个加起来等于 15 的数。
在这个游戏中，小 A 有必胜策略吗？
答案： 1 到 9 中的三个数之和为 15 一共有 8 种情况：
1+5+9 1+6+8 2+4+9 2+5+8
2+6+7 3+4+8 3+5+7 4+5+6
把 1 到 9 依照上图填进 3×3 的方阵中，方阵的每一行、每一列和两条对角线上的三个数之和都是 15 ，它们恰好涵盖了上述所有 8 种情况。因此，游戏的目标即是让自己选的数在方阵中成一条直线。也就是说，小 A 和小 B 在玩的其实是井字棋游戏！众所周知井字棋游戏是没有必胜策略的，因此在这个游戏中小 A 也是没有必胜策略的。
计算
1. 有一块长方形的巧克力，它由 m×n 个小块组成。你想要把它们全部掰开。每一步，你只能拾起其中一块巧克力，沿着直线把它掰成两块。请证明，不管你用什么样的策略，把所有小块全部掰开所需要的步数都是相同的。
答案：每掰一次后，巧克力的总块数都会加一。要想把一块巧克力掰成 m×n 小块，显然不管怎样都需要掰 m×n - 1 次。据说，这个简单得近乎荒唐的问题，有时竟能困扰数学教授们一整天的时间！
2. 把一副洗好的牌（共 52 张）背面朝上地摞成一摞，然后依次翻开每一张牌，直到翻出第一张 A 。下一张牌是黑桃 A 的可能性大还是黑桃 2 的可能性大？
答案：很多人可能会认为，下一张牌是黑桃 2 的可能性更大，因为刚才翻出的首张 A 可能就是黑桃 A 。其实这种直觉是错误的。令人吃惊的是，下一张牌是黑桃 A 的概率与下一张牌是黑桃 2 的概率一样大，它们都等于 1/52 。
为了说明这一点，我们不妨来看一种同样能实现绝对随机的另类洗牌方式：先把一副牌中的黑桃 A 抽出来，随机洗牌打乱剩下 51 张牌的顺序，然后把黑桃 A 插回这摞牌中（包括最顶端和最底端在内，共有 52 个可以插入的位置）。显然，黑桃 A 正好插到了这摞牌的首张 A 下面有 1/52 的可能性。同样的道理，首张 A 下面是黑桃 2 的概率也是 1/52 。事实上，任何一张牌都有可能出现在首张 A 的下面，它们出现的概率是相等的，都等于 1/52 。
填图：
1. 你能把一个等边三角形分成三个面积相等但形状各不相同的小三角形吗？
答案：可以，如图。
2. 像示例那样，在图中画出一条封闭的回路。这条路必须既无重复又无遗漏地经过每一个白色方格。
答案：
